SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER
METODE PENCARIAN AKAR MENGGUNAKAN METODE TERTUTUP
1. METODE BAGI DUA (bisection)
- Metode bisection
Langkah – langkah
pengerjaan metode bisection, sebagai berikut:
·
Mula-mula pilih
x1 dan x2 sembarang sehingga f(x1)f(x2)
< 0
·
Hitung nilai xr
= 0.5(x1 + x2)
·
Periksa posisi
nilai xr
·
Perbaharui
interval akar persamaan sebelumnya
·
Kembali lagi
diulangi membagi interval akar yang baru diperoleh dengan mengikuti langkah 2,
3 dan 4 di atas hingga diperoleh f(xr) = 0 atau f(xr) sedekat mungkin dengan 0
(nol).
dirumuskan
suatu algoritma program sebagai berikut:
Algortima
Program Metode Bisection
Step
0. Mulai
Step
1. Tentukan interval [x1, x2]
Step
2. Hitung nilai f(x1) dan
f(x2)
Step
3. Jika f(x1)f(x2)
< 0, maka kerjakan step 4 sampai 11
Step
4. Masukan toleransi error (E)
Step
5. Ulangi terus step 6 sampai 11 jika |f(xr)| > E
Step
6. Hitung nilai xr =
0.5(x1 + x2)
Step
7. Hitung nilai f(xr)
Step
8. Jika |f(xr)| > e, maka kerjakan
step 9 sampai 11
Step
9. Hitung nilai f(x1)
Step
10. Jika f(x1)f(xr) < 0, maka x2 = xr
Step
11. Jika f(x1)f(xr) > 0, maka x2 = xr
Step
12. Jika f(x1)f(x1) > 0, maka tidak ada akar pada [x1
x2]
Step
13. Selesai
Nb:
1. Itersi
akan berlanjut terus selama |f(xr)| > E
2. iterasi
akan berhenti dengan 2 kemungkinan ;
a.
Jika yang dicari
solusinya adalah persamaan yang dapat difaktorkan, maka iterasi berhenti ketika sama dengan 0.
b.
Jika yang dicari
solusinya adalah persamaan yang tidak dapat difaktorkan, maka iterasi berhenti
ketika mendekati E (toleransi kesalahan) dengan catatan |x2
– x1| < E
3. Pada
iterasi pertama hasil dari f(x1). f(x2) < 0 (harus
negative), dengan demikian dari hasil iterasi pertama x2 selalu
digantikan dengan xr.
4. Jika
f(x1). f(xr) < 0 maka x2 yang diganti
dengan xr , tetapi jika f(x1). f(xr) >0
maka x1 yang digantikan dengan xr.
Contoh :
x2+3x-5 = 0
iterasi 1
[1 2]
f(x1) = f(1) = (1)2 + 3(1) – 5 = -1
f(x2) = f(2) = (2)2 + 3(2) – 5 = 5
f(x1) .
F(x2) = (-1). 3 = -5
xr = 0,5(x1+x2)
= 0,5(1 + 2) = 1,5
F(xr) = (1,5)2 + 3(1,5) – 5 = 1,75
F(xr). f(x1) = 1,75 . (-1) < 0 (x2
yang diganti)
|f(xr)|= (1,5)2 + 3(1,5) – 5 = 1,75
> 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 2
[1 1,5]
xr = 0,5(x1+x2)
= 0,5(1 + 1,5) = 1,25
F(xr) = (1,25)2 + 3(1,25) – 5 = 0,3125
f(x1).f(xr)
= -1 . 0,3125 = -0,3125 < 0 (x2
yang diganti)
|f(xr)|=
(1,25)2 + 3(1,25) – 5 = 0,3125 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 3
[1 1,25]
f(x1) = f(1) = (1)2 + 3(1) – 5 = -1
xr = 0,5(x1+x2)
= 0,5(1 + 1,25) = 1,125
F(xr) = (1,125)2
+ 3(1,125) – 5 = -0,359375
f(x1).f(xr)
= -1 . (-0,359375) = 0,359375 > 0 (x1
yang diganti)
|f(xr)|= (1,125)2 + 3(1,125) – 5 =
0,359375 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 4
[1,125 1,25]
f(x1) = f(1,125) = (1,125)2 + 3(1,125)
– 5 =-0,359375
xr = 0,5(x1+x2)
= 0,5(1,125 + 1,25) = 1,1875
F(xr) = (1,1875)2
+ 3(1,1875) – 5 = -0,027
f(x1). F(xr)
= (-0,359375).(-0,027) > 0 (x1 yang diganti)
|f(xr)|= (1,1875)2 + 3(1,1875) – 5 =
0,027 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 5
[1,1875 1,25]
f(x1) =(1,1875)2 + 3(1,1875) – 5 =
-0,027
xr = 0,5(x1+x2)
= 0,5(1,1875 + 1,25) = 1,21875
F(xr) = (1,21875)2
+ 3(1,21875) – 5 =0,14
f(x1). F(xr)
= -0,027 . 0,14 < 0 (x2 yang diganti)
|f(xr)|= (1,21875)2
+ 3(1,21875) – 5 =0,14 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 6
[1,1875 1,21875]
f(x1) =(1,1875)2 + 3(1,1875) – 5 =
-0,027
xr = 0,5(x1+x2)
= 0,5(1,1875 + 1,21875) = 1,203125
F(xr) = (1,203125)2
+ 3(1,203125) – 5 = 0,056
F(x1).f(xr)
= -0,027 . 0,056 < 0 (x2 yang diganti)
|f(xr)|= (1,203125)2 + 3(1,203125) – 5
= 0,056 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 7
[1,1875 1,203125]
f(x1) =(1,1875)2 + 3(1,1875) – 5 =
-0,027
xr = 0,5(x1+x2)
= 0,5(1,1875 + 1,203125) = 1,1953125
F(xr)= (1,1953125)2+3(1.1953125)
– 5 = 0,0147
F(x1) . f(xr)
= -0,027 . 0,01 < 0 (x2 yang diganti)
|f(xr)|= (1,1953125)2+3(1.1953125)
– 5 = 0,0147 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 8
[1,1875 1,1953125]
f(x1) =(1,1875)2 + 3(1,1875) – 5 =
-0,027
xr = 0,5(1,1875+1,1953125)
= 1,1914
F(xr) = (1,19)2 + 3(1,19) – 5 =
-0,006366
|f(xr)| = (1,19)2 + 3(1,19) – 5 =
0,006366 < 0,01→ berhenti
dengan salah satu akar persamaannnya
x = 1,1914
Atau |x2 – x1| < E
=|1,1953125 - 1,1875| < 0,01
= 0,007812 < 0,01
2. METODE REGULA-FALSI
pada metode ini langkah - langkah yang dilakukan untuk menemukan suatu akar dari suatu persamaan nonlinier sama dengan langkah - langkah pada metode bagi dua (bisection), hanya yang membedakannya pada pencarian xr. Yaitu :
contoh :
pada metode ini langkah - langkah yang dilakukan untuk menemukan suatu akar dari suatu persamaan nonlinier sama dengan langkah - langkah pada metode bagi dua (bisection), hanya yang membedakannya pada pencarian xr. Yaitu :
x2+3x-5 = 0
iterasi 1
[1 2]
f(x1) = f(1) = (1)2 + 3(1) – 5 = -1
f(x2) = f(2) = (2)2 + 3(2) – 5 = 5
f(x1) .
F(x2) = (-1). 3 = -5
F(xr) = (1,6667)2 + 3(1,6667) – 5 =
-0,13889
F(xr). f(x1) = -0,13889 . (-1) > 0
(x1 yang diganti)
|f(xr)|= (1,6667)2 + 3(1,6667) – 5 =
0,13889 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 2
[1,6667 2]
F(x1) = (1,6667)2 + 3(1,6667) – 5 =
-0,13889
f(x2) = f(2) = (2)2 + 3(2) – 5 = 5
F(xr) = (1,1891)2 + 3(1,1891) – 5 =
-0,01826
F(xr). f(x1) = -0,01826 . (-0,13889)
> 0 (x1 yang diganti)
|f(xr)|= (1,1891)2 + 3(1,1891) – 5 =
-0,01826 > 0,01 (iterasi berlanjut)
Iterasi 3
[1,1891 2]
F(x1) = (1,1891)2 + 3(1,1891) – 5 =
-0,01826
f(x2) = f(2) = (2)2 + 3(2) – 5 = 5
F(xr) = (1,1921)2 + 3(1,1921) – 5 =
-0,00238
F(xr). f(x1) = -0,00238 . (-0,01826)
> 0
|f(xr)|= (1,1921)2 + 3(1,1921) – 5 = 0,00238
< 0,01 (iterasi berhenti) dan salah satu akar persamaannya adalah x = 1,1921.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar