PEMECAHAN DASAR (BASIS) dari SISTEM PERSAMAAN

PEMECAHAN DASAR (BASIS) dari SISTEM  PERSAMAAN

1.    Rank suatu matriks

Contoh:

Menurut ekaspansi di atas nilai determinan ≠ 0 , maka rank dari matriks di atas adalah 2. Mengapa demikian?

RANK suatu matriks ditentukan dari matriks bujur sangkar, pada contoh di atas matriks yang terbentuk dari hasil mencari determinan adalah ordo 2 x 2 maka ranknya adalah 2.

Note:

§  determinan = ad - bc

§  Matriks apapun yang memiliki nilai determinan = 0 , maka tidak ada penyelesaiannya.

§  Jika matriks bujur sangkar memeiliki determinan ≠ 0 , maka ranknya sesuai dengan orde matriks bujur sangkarnya. Misalnya ordo 2 x 2 , maka ranknya 2.

§  Jika dalam penentuan matriks bujur sangkar terdapat lebih dari satu matriks bujur sangkar, maka menentukan determinanya cukup saja untuk mewakili matriks – matriks bujur sangkar yang lainnya, asalkan nilai determinannya sudah terbukti ≠ 0.

§  Mencari determinan dengan ekaspansi baris atau kolom hasilnya akn tetap sama.

Det (A) = a₁₁ . k₁₁ + a_{21 .} k_{21 +…….}dst.

            = a_{11 . +} k_{11 +} a_{12 .} k_{12 +……}dst.

Contoh soal:

Carilah rank (A), rank (B), dan rank (C)

karena dari ketiga determinan didapatkan determinan yang nilainya ≠ 0 maka ranknya adalah 2.                                                                                             

1.    Menacri invers suatu matriks

Cara : 1. Tentukan determinan dari matriks yang ada.

           2.mencari matriks adjoin yaitu dari transpos matriks kofaktor   dari matriks yang

              ada. Kofaktor = (-1)^i+j . M

                                                                                 

   

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM dari SUATU FUNGSI PERSAMAAN LINEAR dengan METODE VEKTOR

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM dari SUATU FUNGSI PERSAMAAN LINEAR dengan METODE VEKTOR

Tentukan nilai maksimum dari t = 2x + y , dengan kondisi :

2x + y ≤ 15

x + 3y ≤ 20

matriks vector

t = 2x + y 0.p + 0.q  → t – 2x – y – 0.p – 0.q = 0

2x + y + 1.p + 0.q = 15  → 0.t +2x + y + 1.p + 0.q = 15

x + 3y + 0.p + 1.q = 20  →  0.t + x + 3y + 0.p + 1.q = 20

selanjutnya matriksnya akan menjadi :

SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN

• System bilangan menggunakan bilangan basis tertentu, seperti biner, octal, decimal, dan heksadesimal.

ü  Bilangan decimal

ü  Bilangan biner memiliki basi 2, dimana angka – angka yang terdapat hanya 0 dan 1. Maka setelah angka 1 akan berulang menjadi 10,11,100,101,……..dst.

ü  Bilangan octal memiliki basis 8, dimana angka – angka yang terdapat adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Maka setelah angka 7 akan berulang menjadi 11,1,2,13,14,15,16,17,21,22,…..dst.

ü  Bilangan heksadesimal memiliki basis 16, dimana angka – angka yang terapat adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 serta huruf A,B,C,D,E,F.

• Berikut ini konversi antarbilangan :

a.    Konversi decimal ke biner

Cara untuk mengkonversikan bilangan decimal ke biner adalah, bilangan decimal yang ini dikonversi dibagi selalu dibagi dua sampai hasil dari pembagian dua tersebut adalah satu.

Contoh:

b.    Konversi biner ke decimal

Cara untuk mengkonversikan bilangan biner ke decimal adalah, masing – masing angka biner yang ada dikalikan dua dengan pangkat (n – 1). Dimana n merupakan banyaknya digit yang ada dari angka – angka biner yang ada, lalu hasil keselurahnya dijumlahkan. Jika pada angaka – angka biner yang ada terdapat 4 digit misalnya, maka pang terbesar adalah 4 – 1 = 3.

Contoh:

10010₍₂₎ = ……..₍₁₀₎

Pada soal di atas terdapat 5 digit maka pangkat terbesarnya dalah 4.

1(2)⁴ + 0(2)³ + 0(2)² + 1(2)¹ + 0(2)⁰ = 18

Maka, 10010₍₂₎ = 18 ₍₁₀₎

c.    Konversi bilangan decimal ke octal

Cara mengkonversikan bilangan decimal ke octal adalah, bilangan decimal yang ada dibagi dengan delapan sampai bertemu bilangan yang nilainya kurang dari delapan. Serta hasil dari bilangan octal yang didapat berasal dari gabungan sisa terakhir dan semua angka dari hasil pembagian dengan delapan.

Contoh: 

d.    Konversi bilangan octal ke decimal

Cara mengkonversikan bilangan octal ke decimal adalah, masing – masing angka dari bilangan octal yang ada dikalikan dengan delapan dengan pangkat (n – 1) lalu hasil keselurahnya dijumlahkan.

Contoh :

22₍₈₎ = …… ₍₁₀₎

2(8)¹ + 2(8)⁰ = 18

Maka, 22₍₈₎ = 18₍₁₀₎

e.    Konversi bilangan decimal ke heksadesimal

Cara untuk mengkonversikan bilangan decimal ke heksadesimal adalah, bilangan decimal yang ada dibagi dengan enambelas sampai bertemu bilangan yang nilainya kurang dari enambelas. Serta hasil dari bilangan octal yang didapat berasal dari gabungan sisa terakhir dan semua angka dari hasil pembagian dengan enambelas.

Contoh:

f.    Konversi bilangan heksadesimal ke decimal

Cara mengkonversikan bilangan hekasadesimal ke decimal adalah,

 Masing – masing angka yang ada pada bilangan heksadesimal dikali dengan enambelas dengan pangkat (n – 1) lalu hasil keseluruhannya dijumlahkan.

Contoh:

12₍₁₆₎ = …… ₍₁₀₎

                        1(16)¹ + 2(16)⁰ = 18

                        Maka, 12₍₁₆₎ = 18 ₍₁₀₎

g.    Konversi bilangan octal kebilangan biner

Cara mengkonversikan bilangan octal ke biner adalah, masing – masing angka yang ada pada bilangan octal  diubah menjadi angka – angka biner ( sama seperti konversi dari decimal ke biner) . Lalu setelah didapatkan masing – masing angka binernya, maka gabungkan keseluruhan angka – angka biner yang telah didapat.

Contoh :

55₍₈₎ = …… ₍₂₎

§  5 = 101 ₍₂₎

§  5 = 101 ₍₂₎

Maka, 55₍₈₎ = 101101₍₂₎

h.    Konversi bilangan biner ke octal

Cara mengkonversikan bilangan biner ke octal adalah, bilangan biner yang ada dikelompokan dimana setiap kelompok terdiri maksimal 3 digit, pengkelompokan tersebut dimulai dari sebelah kanan. Kemudian konversikan menjadi octal setiap kelompok yang ada dengan perhitungan konversi biner ke decimal.

Contoh :

i.    Konversi bilangan octal ke heksadesimal

Cara mengkonversikan bilangan octal ke heksadesimal adalah, masing – masing angka yang ada pada bilangan octal  diubah menjadi angka – angka biner ( sama seperti konversi dari decimal ke biner) , tetapi hasilnya harus 3 digit. Jadi jika hasil yang didapat 10 misalnya, maka ditambahkan 0 di depan, menjadi 010. Kemudian gabungkan keseluruhan angka – angka biner yang didapatkan. Lalu kelompokan gabungan keseluruhan angka – angka biner yang telah didapat dengan anggota kelompok maksimal 4 digit dimulai dari sebelah kanan.

Contoh :

j.    Konversi bilangan heksadesimal ke octal

Cara mengkonversikan bilangan heksadesimal ke octal, masing – masing angka yang ada pada bilangan heksadesimal  diubah menjadi angka – angka biner ( sama seperti konversi dari decimal ke biner) , tetapi hasilnya harus 4 digit. Jadi jika hasil yang didapat 10 misalnya, maka ditambahkan 0 di depan, menjadi 0010. Kemudian gabungkan keseluruhan angka – angka biner yang didapatkan. Lalu kelompokan gabungan keseluruhan angka – angka biner yang telah didapat dengan anggota kelompok maksimal 3 digitdimulai dari sebelah kanan. Selanjutnya kelompok – kelompok yang ada diubah menjadi decimal (sama seperti konversi biner ke decimal).

Contoh :

k.    Konversi heksadesimal ke biner

Cara mengkonversikan bilangan heksadesimal ke biner adalah, masing – masing angka yang ada pada bilangan heksadesimal  diubah menjadi angka – angka biner ( sama seperti konversi dari decimal ke biner) , tetapi hasilnya harus 4 digit. Jadi jika hasil yang didapat 10 misalnya, maka ditambahkan 0 di depan, menjadi 0010. Kemudian gabungkan keseluruhan angka – angka biner yang didapatkan.

Contoh :

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM dari SUATU FUNGSI PERSAMAAN LINEAR dengan METODE ANALISI SIMPLEKS

MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM dari SUATU FUNGSI PERSAMAAN LINEAR dengan  METODE ANALISI SIMPLEKS

Contoh:

Tentukan nilai z jika z = 10x + 15y , dengan kondisi :

x + y ≤ 16……..(1)

x + 2y ≤ 20…..(2)

x,y ≥ 0

·         Metode simpleks

z = 10x + 15y

x + y + p = 16……(1a) -> p sebagai variael yang tidak diproduksi

x + 2y + q = 20….(2a) -> q sebagai variabel yang tidak diproduksi

·         Keadaan awal → x = y = 0 , p = 16 , q = 20 , z = 0

·         Pilih basis

Periksa ketika ,

Maka q sebagai non basis

·         Selanjutnya dari 2a

x + 2y + q = 20

2y = 20 – x – q

 ·         Selanjutnya dari 1a, subtitusikan nilai y dari 2aa

x + y + p = 16

p = 16 – x – y

t;line-height: 115%;font-family:"Arial Unicode MS","sans-serif"'>2y = 20 – x – q

·         Ketika x = q = 0 , y = 10 , p = 6 , maka langkah selanjutnya dengan iterassi (pengulangan untuk x). lihat 2aa dan 1aa. 

( karena tadi udah dikatakan bahwa p dan q merupakan variabel yang tidak diproduski maka keduanya bernilai 0)

z = 180

contoh  :

tentukan nilai z jika z = 2x + y , dengan kondissi :

2x + y = 15…..(1)

x + 3y = 20…..(2)

·         Metode simpleks

z = 2x + y

2x + y + p = 15……(1a) -> p sebagai variael yang tidak diproduksi

x + 3y + q = 20….(2a) -> q sebagai variabel yang tidak diproduksi

·         Keadaan awal → x = y = 0 , p = 15 , q = 20 , z = 0

·         Pilih basis

Periksa ketika , 

Maka p sebagai non basis

·         Selanjutnya dari 2a

x + 3y + q = 20

x = 20 – 3y – q …..(2aa)

·         Selanjutnya dari 1a dan subtitusikan nilai x dari 2aa

2x + y + p = 15

p = 15 – 2x – y

p = 15 – 2(20 – 3y – q) – y

p = 15 – 40 + 6y + 2q – y

p = -25 + 5y + 2q….(1aa)

·         Ketika y = q = 0 , x = 20 , p = -25 , maka langkah selanjutnya dengan iterassi (pengulangan untuk y). lihat 2aa dan 1aa.

Ketika,            x = q = 0         →  x = 20 – 3y – q

Maka x mininalnya adalah 5

·         Selanjutnya didapat

-5y = -25 + 2q – p

( karena tadi udah dikatakan bahwa p dan q merupakan variabel yang tidak diproduski maka keduanya bernilai 0)

z = 15

MENCARI NILAI MAXIMUM dan MINIMUM PADA PERTIDAKSAMAAN LINEAR

MENCARI NILAI MAXIMUM dan MINIMUM PADA PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Tentukan nilai maximum dan minimum dari z = 3x + 4y, dengan kondisi :

 Untuk menentukan titik titik pada daerah penyelesaian yang kita dapatkan, kita dapat menggunakan system eliminasi dan subtitusi dari pertidaksamaan yang ada yang diubah menjadi bentuk persamaan.

Titik A (pers. 1 dan 2)

Grafik untuk persamaan diatas adalah :

Bentuk segitiga ABC pada gambar di atas merupakan daerah maksimum yang didapatkan.

METODE SIMPLEKS BAKU

METODE SIMPLEKS BAKU

 Contoh:

Tentukan nilai maksimal z = 4x + 3y , dengan kondisi :

3x + 4y ≤ 12

7x + 2y ≤ 14

Selanjutnya pertidaksamaan yang ada dijadikan bentuk persamaan sebagai berikut:

4x + 3y + p + q = z

3x + 4y +1.p + 0.q = 12…….(pers.1)

7x + 2y + 0.p + 1.q = 14……(pers. 2)

Setelah itu buatlah tabel seperti berikut :

	Cj	4	3	0	0
variabel bebas	CB	x	y	p	q	hrg basis	rasio
P	0	3	4	1	0	12	12/3 = 4
Q	0	7	2	0	1	14	14/7 =2
Zj – Cj		-4	-3	0	0

                                    Tabel 1.1

Cara mengisi tabel:

1. Cara untuk mengcari Zj – Cj adalah,

·    CB variable bebas p dikali dengan koefisien x (pers.1) ditambah dengan CB variable bebas q yang dikali dengan koefisien x (pers.2)

(0.3 + 0.7) -4 = -4

·    CB variable bebas p dikali dengan koefisien y (pers.1) ditambahn dengan CB variable bebas q yang dikalikan dengan koefisien y(pers.2).

(0.7 + 0.2) -3 = -3

·    CB variable bebas p dikalikan koefisien p (pers.1) ditambah CB variable bebas q yang dikalikan dengan koefisiem p (pers.2)

(0.1       + 0.0) – 0 = 0

·    CB variable bebas p dikali dengan koefisien q (pers.1) ditambah CB variable bebas q yang dikalikan dengan koefisien q (pers.2)

(0.0       +0.1) - 0 = 0

2. Tarik kolom x (karena nilai minimal dari Zj – Cj) kemudian tarik baris variable bebas p (karena nilai minimal dari rasio)

3. Pada tabel 1.1 cell yang berwarna █ adalah kunci untuk meneruskan tabel berikutnya, pada cell kunci tersebut bernilai 7.

Setelah itu buat tabel berikutnya :

Dari tabel 1.1 dapat disimpulkan q menghilang dan digantikan dengan x, untuk membuat tabel 1.2.

	Cj		4	3	0	0
variabel bebas		CB	x	y	p	q	hrg basis	rasio
p		0	0	22/7	1	-3/7	6	6:22/7 =2/11
x		4	1	2/7	0	1/7	14/7=2	2: 2/7 = 7
Zj – Cj			4	-13/7	0	4/7	8

                                            Tabel 1.2

Cara mengisi tabel ;:

1. Cara mengisi baris variable bebas x sampai kolom harga baisi adalah, masing – masing nilai dari variable bebas q pada tabel 1.1 dibagi dengan nilai kunci yang ada ditabel 1.1.

2. Cara mengisi baris variable bebas p samapi harga basis adalah:

[3  4  1  0  12] – n [1  2/7  0  1/7  2]

Nilai n yang didapat kan agar berbentuk matriks [0  …  …  …. …] adalah 3, maka:

[3  4  1  0  12] – 3[1  2/7  0  1/7  2] =

[0  2/7  1  -3/7  6]

3. Cara mengisi rasio adalah bagi masing – masing harga basis dengan masing – masing niali y.

4. Harga basis dari Zj – Cj didapat dari mensubtitusikan nilai harga basis variable bebas x kepersamaan         z = 4x + 3y, maka :

z = 4.2 + y.o (karena belum terdapat harga basis pada variable bebas y)

5. Tarik kolom y (karena nilai minimal Zj – Cj) kemudian tarik baris variable bebas p (karena nilai minimal rasio).

6. Kolom cell kinci pada tabel 1.2 bernilai 22/7.

Setelah itu buat tabel berikutnya:

Pada tabel 1.2 dapat disimpulkan p menghilang dan digantikan dengan y, untuk membuat tabel 1.3.

	Cj	4	3	0	0
variabel bebas	CB	x	y	p	q	hrg basis	rasio
Y	3	0	1	7/22	-3/22	21/11	-
X	4	1	0	-1/11	2/11	16/11	-
Zj – Cj		0	0	13/22	7/22	132/11

                                            Tabel 1.3

Cara mengisi tabel:

1. Cara mengisis baris variable bebas y sampai kolom harga basis adalah, masing – masing nilai  dari variable bebas p pada tabel 1.2 dibagi dengan nilai kunci yang ada pada tabel 1.2.

2. Cara mengisi baris variable bebas x samapi harga basis adalah:

[1  2/7  1  -3/7  6] – n[0  1  7/22  -3/22  21/11]

Nilai n yang didapat agar berbentuk matriks [1  0  …  …  ..] adalah 2/7, maka :

[1  2/7  1  -3/7  6] – 22/7[0  1  7/22  -3/22  21/11]

[1  0  -1/11  2/11  16/11]

3. Harga basis dari Zj – Cj didapat dari mensubtityusika nilai dari harga basis variable bebas y dan variable bebas x kepersamaan z = 4x + 3y , maka:

z = 4. 21/11 + 3.16/11

   = 132/11

Karena pada tabel 1.3 semua nilai dari Zj – Cj tidak ada yang bernilai negative maka penghitungan untuk mencari nilai maksimal dari z = 4x + 3y berhenti, dan hasilnya adalah 132/11 (yang terdapat pada cell berwarna merah)