Macam - Macam Fungsi Berserta Contohnya

MACAM-MACAM FUNGSI BESERTA CONTOHNYA

1.FUNGSI ALJABAR ,yaitu fungsi yang menggunakan operasi-operasi         penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian, dan penarikan akar.

●Contoh:

a.Fungsi irasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya terdapat dibawah tanda akar. Misal f(x)=√x , g(x)= √x+1+3

b.Fungsi Rasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya berpangkat bilangan bulat. Fungsi rasional meliputi fungsi:
 ○ Fungsi polinom (suku banyak) memiliki bentuk  

     f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +….+ a₂x² + a₁x + a_0,   

     dengan  a_n , a_n-1 , …,a₂ , a_{1 ,} a₀

     adalah bilangan real a_n ≠ 0, a₀=konstanta dan n bilangan bulat

     Fungsi polinom berderajat n misalkan, f(x)=2x³+4x²+6x-5

 ○ Fungsin kubik, yaitu fungsi yang berpangkat 3. Misalkan

    F(x)=x³ adalah fungsi kubik yang paling sederhana.

 ○ Fungsi kuadrat, suatu fungsi yang berbentuk f(x)=ax²+bx+c,

    Dengan a,b,c konstanta dan a≠o. Dimana grafiknya berbetuk

    Parabola,domain fungsi ini adalah D_f=R.

 ○ Fungsi linear,suatu fungsi yang ditentukan oleh f(x)=ax+b,

    Dengan a dan b konstanta dan a≠0. Kurva fungsi linear adalah
    Garis y=ax+b yang selalu melalui titik (0,b) dan (a/b,0).

 ○ Fungsi pangkat, dinyatakan dengan y=f(x)=xⁿ, dengan n

    Bilangan asli. Jika n=2→grafiknya berbentuk parabola

                                    n=3→grafiknya berbebtuk parabola kubik

                                    n=4→grafiknya parabola kuadrat

   bentuk umum dari fungsi pangkat:y=f(x)=xⁿ, y=f(x)=axⁿ,
○ Fungsi pecahan,yaitu suatu hasil fungsi-fungsi polinom .

   Bentuk umum fungsi pecahan:f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+..+a₁x+a₀

                                                                                                                                                     b_mx^m+b_m-1x^m-1+..+b₁x+b₀

  dengan a_n≠0;b_mx^m+b_m-1x^m-1+..+b₁x+b₀≠0;n Є bilangan asli.

2. FUNGSI TRANSENDEN,yaitu fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

   ●Contoh:

        a.Fungsi eksponen,fungsi yang variable bebasnya menjadi pangakat dari suatu

        bilangan . Bentuk umum y=f(x)=a^x, dengan a≠0,a≠1, dan a Є R.

     b. Fungsi logaritma, dengan bilangan pokok a>0 dan a≠1 adalah invers dari fungsi  

         eksponen

         dengan bilangan pokok a. Fungsi eksponen y=g(x)=a^x, inversnya adalah fungsi

         logaritma y=f(x)=^alogx ; a>0 , a≠1, x>0.

    c. Fungsi trigonometri,yaitu fungsi yang meliputi f9x)=sin x , f(x)=cos x ,f(x)=tan x

        dimana  x menyatakan besar suatu sudut (radian atau drajat).

   d. Fungsi siklometri, yaitu invers dari fungsi trigonometri, seperti f(x)=arc sin x

      f(x)=arc cos x, f(x)=arc tan x.

      catatan: sin ½ dapat ditulis arc sin ½

   e. Fungsi hiperbolik, yang meliputi:f(x)=sinh x=℮^x - ℮^-x , f(x)=cosh x=℮^x - ℮^-x

                                                                                                                        2                                 2

       Catatan: ℮=2,71828

3.FUNGSI KHUSUS

   ● Contoh

      a. Fungsi Konstan, Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam    

        rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Fungsi konstatn f memasangkan setiap

          bilangan real dengan konstanta c.

     b. Fungsi identitas, Fungsi I:A─>A yang ditentukan oleh I(x) disebut fungsi identitas

          pada A.Fungsi I memasangkan setiap elemen daerah asal dengan dirinya sendiri.

          contoh: garis y=x yang melalui titik pangkal O(o,o)

     c. Fungsi modulus, fungsi f:x─>│x│ atau f(x) yang ditentukan oleh:     

            f(x)=│x│=   x,jika x ≥ 0

                                -x,jika x <0

          Contoh: modulus y =│x│

    

    d. Fungsi parameter, fungsi dengan parameter diantaranya adalah x=at+b,

         y=2t² +c, dengan t adalah parameter yang menetapkan fungsi itu.

4. FUNGSI GENAP dan GANJIL

    a. Fungsi genap, jika f(-x)=f(x), maka grafik tersebut simetri terhadap sumbu y .

        Fungsi yang demikian disebut fungsi genap.

    b. Fungsi ganjil, jika f(-x)=f(-x), maka grafik tersebut simetri terhadap titik asal

        O(0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.

    c. Bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, jika f(-x)≠f(x) dan f(-x)≠f(-x), maka

        grafiknya tidak simetri terhadap titik asal.

5. FUNGSI PERIODIK, fungsi f dengan domain R dikatakan fungsi periodik apabila

    Terdapat bilangan k≠0, sehinga f (x+k)=f(x), dengan x Є R. Bilangan positif k terkecil

    Yang memenuhi f(x+k)=f(x) disebut periode dasar fungsi itu.

   

Filsafat Sejarah Matematika

1.  PENGERTIAN FILSAFAT

Filsafat adalah pandangan hidup seseorang atau sekelompok orang yang merupakan konsep dasar mcngenai kehidupan yang dicita-citakan. Filsafat juga diartikan sebagai suatu sikap seseorang yang sadar dan dewasa dalam memikirkan segala sesuatu secara mendalam dan ingin melihat dari segi yang luas dan menyeluruh dengan segala hubungan. 

Filsafat dapat juga diartikan sebagai studi tentang seluruh fenomena kehidupan dan pemikiran manusia secara kritis dan dijabarkan dalam konsep mendasar proses-proses itu dimasukkan ke dalam sebuah proses dialektika. Untuk studi falsafi, mutlak diperlukan logika berpikir dan logika. Filsafat tidak didalami dengan melakukan eksperimen-eksperimen dan percobaan-percobaan, tetapi dengan mengutarakan masalah secara persis, mencari solusi untuk itu, memberikan argumentasi dan alasan yang tepat untuk solusi tertentu

2. Pengertian Filsafat Matematika

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalahuntuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis dan terstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unik di antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.

3. Pengertian Matematika

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Paramatematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kakudari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]

Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanyarekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.[7]

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, danilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Aliran-aliran Filsafat Matematika

1) Formalism, yang dipelopori oleh David Hilbert (1862-1943) seorang matematikawan Jerman. Bagi pengikut aliran ini, matematika merupkan sebuah pengethuan tentang struktur formal dari lambang (simbol). Aliran ini menekankan konsistensi matematika sebagai bahasa simbol;

2) Logicism, yang berpendapat bahwa semua matematika dapat diturunkan dari prinsip-prinsip logika. Dengan kata lain, aliran ini mengatakan bahwa matematika merupakan cara berpikir logis yang benar atau salahnya dapat ditentukan tanpa bukti empiris. Tokoh dalam aliran ini yang juga seorang ahli filsafat disamping matematikawan adalah Bertrand Russel (1872-1970) dan Alfred North Whitehead (1861-1947), berasal dari Inggris;

3) Intuisionism, dengan tokoh seorang matematkawan Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Menurut pengikut aliran ini, matemtika berasl dan berkembng did lam pikiran manusia. Aliran ini sejalan dengan pendapat Imanuel Kant (1724-1804) yang menyatakan bahwa mateatika merupakan pengetahuan yang eksistensinya tergantung pada pengalaman.

Daftar Pustaka :

http://pakguruonline.pendidikan.net/buku_tua_pakguru_dasar_kpdd_11.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Filsafat

http://id.wikipedia.org/wiki/Filsafat_matematika

http://tugasfilsafatku.blogspot.com/

SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER

METODE PENCARIAN AKAR MENGGUNAKAN METODE TERTUTUP

1. METODE BAGI DUA (bisection)

1. Metode bisection

Langkah – langkah pengerjaan metode bisection, sebagai berikut:

·         Mula-mula pilih x₁ dan x₂ sembarang sehingga f(x₁)f(x₂) < 0

·         Hitung nilai xr = 0.5(x₁ + x₂)

·         Periksa posisi nilai xr

·         Perbaharui interval akar persamaan sebelumnya

·         Kembali lagi diulangi membagi interval akar yang baru diperoleh dengan mengikuti langkah 2, 3 dan 4 di atas hingga diperoleh f(xr) = 0 atau f(xr) sedekat mungkin dengan 0 (nol).

dirumuskan suatu algoritma program sebagai berikut:

Algortima Program Metode Bisection 

Step 0.   Mulai

Step 1.   Tentukan interval [x₁, x₂]

Step 2.   Hitung nilai f(x₁) dan f(x₂)

Step 3.   Jika f(x₁)f(x₂) < 0, maka kerjakan step 4 sampai 11

Step 4.   Masukan toleransi error (E)

Step 5.   Ulangi terus step  6 sampai 11 jika |f(xr)| > E

Step 6.   Hitung nilai xr = 0.5(x₁ + x₂)

Step 7.   Hitung nilai f(xr)

Step 8.   Jika |f(xr)| > e, maka kerjakan step 9 sampai 11

Step 9.   Hitung nilai f(x₁)

Step 10. Jika f(x₁)f(xr) < 0, maka x₂ = xr

Step 11. Jika f(x₁)f(xr) > 0, maka x₂ = xr

Step 12. Jika f(x₁)f(x₁) > 0, maka tidak ada akar pada [x₁ x₂]

Step 13. Selesai

Nb:

1.      Itersi akan berlanjut terus selama |f(xr)| > E

2.      iterasi akan berhenti dengan 2 kemungkinan ;

a.          Jika yang dicari solusinya adalah persamaan yang dapat difaktorkan,   maka iterasi berhenti ketika sama dengan 0.

b.          Jika yang dicari solusinya adalah persamaan yang tidak dapat difaktorkan, maka iterasi berhenti ketika mendekati E (toleransi kesalahan) dengan catatan |x₂ – x₁| < E  

3.      Pada iterasi pertama hasil dari f(x₁). f(x₂) < 0 (harus negative), dengan demikian dari hasil iterasi pertama x₂ selalu digantikan dengan x_r.

4.      Jika f(x₁). f(x_r) < 0 maka x₂ yang diganti dengan x_r , tetapi jika f(x₁). f(x_r) >0 maka x₁ yang digantikan dengan x_r.

Contoh :

x²+3x-5 = 0

iterasi 1

[1  2]

f(x₁) = f(1) = (1)² + 3(1) – 5 = -1

f(x₂) = f(2) = (2)² + 3(2) – 5 = 5

f(x₁) .  F(x₂) = (-1). 3 = -5

x_r = 0,5(x₁+x₂)

    = 0,5(1 + 2) = 1,5

F(x_r) = (1,5)² + 3(1,5) – 5 = 1,75

F(x_r). f(x₁) = 1,75 . (-1) < 0 (x₂ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,5)² + 3(1,5) – 5 = 1,75 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 2

[1  1,5]

x_r = 0,5(x₁+x₂)

    = 0,5(1 + 1,5) = 1,25            

F(x_r) = (1,25)² + 3(1,25) – 5 = 0,3125

f(x₁).f(x_r) = -1 .  0,3125 = -0,3125 < 0 (x₂ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,25)² + 3(1,25) – 5 = 0,3125 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 3

[1  1,25]

f(x₁) = f(1) = (1)² + 3(1) – 5 = -1

x_r = 0,5(x₁+x₂)

    = 0,5(1 + 1,25) = 1,125        

F(x_r) = (1,125)² + 3(1,125) – 5 = -0,359375

f(x₁).f(x_r) = -1 .  (-0,359375) = 0,359375 > 0 (x₁ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,125)² + 3(1,125) – 5 = 0,359375 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 4

[1,125  1,25]

f(x₁) = f(1,125) = (1,125)² + 3(1,125) – 5 =-0,359375

x_r = 0,5(x₁+x₂)

    = 0,5(1,125 + 1,25) = 1,1875     

F(x_r) = (1,1875)² + 3(1,1875) – 5 = -0,027

f(x₁). F(x_r) = (-0,359375).(-0,027) > 0 (x₁ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,1875)² + 3(1,1875) – 5 = 0,027 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi  5

[1,1875  1,25]

f(x₁) =(1,1875)² + 3(1,1875) – 5 = -0,027

x_r = 0,5(x₁+x₂)

    = 0,5(1,1875 + 1,25) = 1,21875

F(x_r) = (1,21875)² + 3(1,21875) – 5 =0,14

f(x₁). F(x_r) = -0,027 . 0,14 < 0 (x₂ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,21875)² + 3(1,21875) – 5 =0,14 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 6

[1,1875  1,21875]

f(x₁) =(1,1875)² + 3(1,1875) – 5 = -0,027

x_r = 0,5(x₁+x₂)

    = 0,5(1,1875 + 1,21875) = 1,203125

F(x_r) = (1,203125)² + 3(1,203125) – 5 = 0,056

F(x₁).f(x_r) = -0,027 . 0,056 < 0 (x₂ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,203125)² + 3(1,203125) – 5 = 0,056 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 7

[1,1875  1,203125]

f(x₁) =(1,1875)² + 3(1,1875) – 5 = -0,027

x_r = 0,5(x₁+x₂)

    = 0,5(1,1875 + 1,203125) = 1,1953125

F(x_r)= (1,1953125)²+3(1.1953125) – 5 = 0,0147

F(x₁) . f(x_r) = -0,027 . 0,01 < 0 (x₂ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,1953125)²+3(1.1953125) – 5 = 0,0147 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 8

[1,1875  1,1953125]

f(x₁) =(1,1875)² + 3(1,1875) – 5 = -0,027

x_r = 0,5(1,1875+1,1953125)

    = 1,1914

F(x_r) = (1,19)² + 3(1,19) – 5 = -0,006366

|f(x_r)| = (1,19)² + 3(1,19) – 5 = 0,006366 < 0,01→ berhenti dengan salah satu akar persamaannnya

 x = 1,1914

Atau |x₂ – x₁| < E

=|1,1953125 - 1,1875| < 0,01

= 0,007812 < 0,01

 2. METODE REGULA-FALSI
pada metode ini langkah - langkah yang dilakukan untuk menemukan suatu akar dari suatu persamaan nonlinier sama dengan langkah - langkah pada metode bagi dua (bisection), hanya yang membedakannya pada pencarian xr. Yaitu :

contoh :

x²+3x-5 = 0

iterasi 1

[1  2]

f(x₁) = f(1) = (1)² + 3(1) – 5 = -1

f(x₂) = f(2) = (2)² + 3(2) – 5 = 5

f(x₁) .  F(x₂) = (-1). 3 = -5

 

F(x_r) = (1,6667)² + 3(1,6667) – 5 = -0,13889

F(x_r). f(x₁) = -0,13889 . (-1) > 0 (x₁ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,6667)² + 3(1,6667) – 5 = 0,13889 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 2

[1,6667  2]

F(x₁) = (1,6667)² + 3(1,6667) – 5 = -0,13889

f(x₂) = f(2) = (2)² + 3(2) – 5 = 5

 F(x_r) = (1,1891)² + 3(1,1891) – 5 = -0,01826

F(x_r). f(x₁) = -0,01826 . (-0,13889) > 0 (x₁ yang diganti)

|f(x_r)|= (1,1891)² + 3(1,1891) – 5 = -0,01826 > 0,01 (iterasi berlanjut)

Iterasi 3

[1,1891  2]

F(x₁) = (1,1891)² + 3(1,1891) – 5 = -0,01826

f(x₂) = f(2) = (2)² + 3(2) – 5 = 5

 

F(x_r) = (1,1921)² + 3(1,1921) – 5 = -0,00238

F(x_r). f(x₁) = -0,00238 . (-0,01826) > 0

|f(x_r)|= (1,1921)² + 3(1,1921) – 5 = 0,00238 < 0,01 (iterasi berhenti) dan salah satu akar persamaannya   adalah x = 1,1921.